Multiplication de matrice par un réel k (scalaire)

Précautions  

Aucune précaution particulière n'est à prendre.

Définition

Soit un réel  \(k\) et une matrice \(A\)  de taille \(m\times n\) . Le produit de  \(k\) par \(A\)  est  \(B= kA\) tel que, pour tout  \(i\in\{1~;...;m\}\)  et  \(j\in\{1~;...;n\}\) , on a \(b_{ij}=ka_{ij}\) .

Remarque

Il s’agit là encore d’une généralisation de la multiplication d’un vecteur par un scalaire.

Propriétés

On retrouve donc encore une fois les propriétés de la multiplication d’un vecteur par un réel. Soit deux réels  \(k\) et  \(k'\) et deux matrices  \(A\) et  \(B\) de taille \(m\times n\) , on a :

• \(1A =A\)
  
• \(0A=O_{m,n}\)
  
• \(kO_{m,n}=O_{m,n}\)
  
• \(kA+k'A=(k+k')A\)
  
• \(kA+kB=k(A+B)\)
  
• \(k(k'A)=k'(kA)=(kk')A=kk'A\)
  
• \(-1A=-A\)